LaTeX数学公式示例笔记

本文档展示了在VitePress中使用LaTeX数学公式的各种语法和效果，可用于测试公式渲染效果。

基础数学公式

行内公式

在文本中插入行内公式：爱因斯坦质能方程 $E=m{c}^2$ 表明质量与能量之间的关系。

牛顿第二定律可以表述为 $F=ma$，其中 $F$ 是力，$m$ 是质量，$a$ 是加速度。

黄金分割比约为 $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618$。

块级公式

以下是勾股定理的公式表示：

$$a^2+b^2=c^2$$

二次方程的求根公式：

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

欧拉公式，被誉为数学最美丽的公式之一：

$$e^{i\pi }+1=0$$

高级数学表达式

求和与积分

求和符号示例：

$$\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$$

无穷级数：

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=e$$

定积分：

$${\int }_a^{b}f(x)dx$$

多重积分：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_a^b{\int }_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)dydx$$

分数与根式

嵌套分数：

$$\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}}$$

连分数：

$$x=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\cdots }}}$$

根式：

$$\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$$

矩阵与行列式

矩阵

2×2矩阵：

$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

3×3矩阵：

$$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]$$

增广矩阵：

$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& |& 4\\ 5& 6& 7& |& 8\end{array}\right)$$

行列式

2阶行列式：

$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$

3阶行列式：

$$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|=a\left|\begin{array}{cc}e& f\\ h& i\end{array}\right|-b\left|\begin{array}{cc}d& f\\ g& i\end{array}\right|+c\left|\begin{array}{cc}d& e\\ g& h\end{array}\right|$$

微积分与极限

导数定义：

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

偏导数：

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$$

链式法则：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

泰勒展开式：

$$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{‴}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots$$

线性代数

向量

向量点积：

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|a||b|\cos \theta$$

向量叉积：

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=|a||b|\sin \theta \hat{n}$$

特征值和特征向量

特征方程：

$$det(A-\lambda I)=0$$

统计与概率

概率分布

正态分布的概率密度函数：

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$$

二项分布的概率质量函数：

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$$

统计量

样本均值：

$$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

样本方差：

$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$$

物理学公式

经典力学

牛顿万有引力定律：

$$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$$

动能：

$$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$$

相对论

质能等价：

$$E=m{c}^2$$

洛伦兹变换：

$$\{\begin{array}{l}{t}^{\prime }=\gamma (t-\frac{vx}{c^2})\\ x^{\prime }=\gamma (x-vt)\\ y^{\prime }=y\\ z^{\prime }=z\end{array}$$

其中：

$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

化学公式

化学平衡常数

$$K_c=\frac{[C{]}^c[D{]}^d}{[A{]}^a[B{]}^b}$$

阿伦尼乌斯方程

$$k=A{e}^{-\frac{E_a}{RT}}$$

复杂数学符号

集合论

集合关系：

$$A\subset B⟺\mathrm{\forall }x\in A,x\in B$$

集合运算：

$$A\cup B=\{x|x\in A\text{ or }x\in B\}$$$$A\cap B=\{x|x\in A\text{ and }x\in B\}$$

逻辑符号

逻辑蕴含：

$$p⟹q$$

逻辑等价：

$$p⟺q$$

量词：

$$\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\exists }y\in Y:P(x,y)$$

LaTeX环境

对齐方程组

使用align环境对齐多个方程：

$$\begin{array}{rl}y& =(x+1{)}^2\\ & =x^2+2x+1\end{array}$$

分段函数

使用cases环境表示分段函数：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& \text{if }x\ge 0\\ -x^2,& \text{if }x<0\end{array}$$

物理常数与单位

玻尔兹曼常数：

$$k_B=1.380649\times {10}^{-23}\text{ J/K}$$

普朗克常数：

$$h=6.62607015\times {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$$

希腊字母与特殊符号

常用希腊字母： $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,ϵ,\zeta ,\eta ,\theta ,\iota ,\kappa ,\lambda ,\mu ,\nu ,\xi ,o,\pi ,\rho ,\sigma ,\tau ,\upsilon ,\varphi ,\chi ,\psi ,\omega$

大写希腊字母： $\mathrm{\Gamma },\mathrm{\Delta },\mathrm{\Theta },\mathrm{\Lambda },\mathrm{\Xi },\mathrm{\Pi },\mathrm{\Sigma },\mathrm{{\rm Y}},\mathrm{\Phi },\mathrm{\Psi },\mathrm{\Omega }$

特殊符号： $\mathrm{\nabla },\partial ,\mathrm{\infty },\mathrm{\forall },\mathrm{\exists },\nexists ,\in ,\notin ,\subset ,\supset ,\mathrm{\varnothing },\varnothing$

总结

以上是在VitePress中使用LaTeX数学公式的多种语法示例，涵盖了从简单方程到复杂数学表达式的各种情况。如果这些公式能够正常渲染，说明VitePress对数学公式的支持是完善的。